Polynômes du Second Degré

PARTIE 1 :

I. Définitions

Qu'est-ce qu'un polynôme ?

On appelle « Fonction polynôme » (ou plus simplement « polynôme ») une fonction qui est constituée d’une somme de termes de la forme ${\color{DarkBlue} ax^{n}}$ (avec ${\color{DarkBlue} a\epsilon \mathbb{R}}$ et ${\color{DarkBlue} n\epsilon \mathbb{N}}$ ).

Exemples :

${\color{DarkBlue} f(x)=4x^{2}+2x-7}$

${\color{DarkBlue} g(x)=85x^{3}-62x^{2}+7,2x+91}$

${\color{DarkBlue} h(x)=7x+3}$

Qu'est-ce que le degré d'un polynôme?

Le degré d’un polynôme est tout simplement l’exposant de ${\color{DarkBlue} x}$ le plus élevé dans le calcul.

Exemples :

${\color{DarkBlue} f(x)=4x^{{\color{DarkOrange} 2}}+2x-7}$ ici ${\color{DarkBlue} f(x)}$ est donc de degré 2

${\color{DarkBlue} g(x)=85x^{{\color{DarkOrange} 3}}-62x^{2}+7,2x+91}$ ici ${\color{DarkBlue} g(x)}$ est donc de degré 3

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} i(x)=8x^{{\color{DarkOrange} 64}}+3x^{2}-2}$ ici ${\color{DarkBlue} i(x)}$ est donc de degré 64

Attention ! Lorsqu’on a un ${\color{DarkBlue} x}$ sans exposant, c’est comme si on avait ${\color{DarkBlue} x^{1}}$ , et si on a un terme sans ${\color{DarkBlue} x}$ du tout, c’est comme si on avait un ${\color{DarkBlue} x^{0}}$ .

Exemples :

${\color{DarkBlue} h(x)=7x+3=7x^{{\color{DarkOrange} 1}}+3}$ ici ${\color{DarkBlue} h(x)}$ est donc de degré 1

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} j(x)=42=42x^{{\color{DarkOrange} 0}}}$ ici $\dpi{100} {\color{DarkBlue} j(x) }$ est donc de degré 0

Remarque : Dans le cours de 1ère, nous ne nous intéressons qu’aux polynômes de degré 2, c’est à dire aux fonctions de la forme :

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue}f(x)={\color{DarkOrange} a}x^{2}+{\color{DarkOrange} b}x+{\color{DarkOrange} c}}$

Les 3 formes des polynômes

Un polynôme du second degré peut se présenter sous 3 formes :

La forme développée :

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue}f(x)={\color{DarkOrange} a}x^{2}+{\color{DarkOrange} b}x+{\color{DarkOrange} c}}$

Exemple : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x)={\color{DarkOrange}2}x^{2}+{\color{DarkOrange} 5}x+{\color{DarkOrange} 3}}$

2. La forme canonique

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} f(x)={\color{DarkOrange} a}(x-\alpha )^{2}+\beta}$

avec $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \alpha =\frac{-{\color{DarkOrange} b}}{2{\color{DarkOrange} a}}}$ et $\dpi{120} \large {\color{DarkBlue} \beta =f(\alpha )}$

Exemple : Dans l’exemple de $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x)}$ ci-dessus, on a: $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x)={\color{DarkOrange}2}x^{2}+{\color{DarkOrange} 5}x+{\color{DarkOrange} 3}}$ ;

On peut donc calculer : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} {\alpha} =\frac{-{\color{DarkOrange} 5}}{2\textup{ x }{\color{DarkOrange} 2}}=-1,25}$ ;

et $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \beta ={\color{DarkOrange} 2}\textup{ x }(-1,25)^{2})+5\textup{ x }(-1,25)+3=1,75}$ .

La forme canonique de $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x)}$ est donc $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x) ={\color{DarkOrange} 2}(x-(-1,25))^{2}+1,75}$ .

3. La forme factorisée:

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} f(x)={\color{DarkOrange} a}(x-x_{1})(x-x_{2})}$

avec $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{1}}$ et $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{2}}$ les racines du polynôme.

Exemple : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} p(x)={\color{DarkOrange} 2}(x-(\frac{-3}{2}))(x-(-1))}$

Remarque : Pour retrouver les valeurs de $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{1}}$ et de $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{2}}$ , utilisez la méthode expliquée dans la partie II.

II. Résolution: Comment trouver les racines à l'aide du discriminant

Le point clé lorsqu’on étudie un polynôme est de trouver ses racines, car elles permettent de donner la forme factorisée, le signe et la représentation graphique du polynôme.

Les racines d’un polynôme sont les valeurs de $\dpi{100} {\color{DarkOrange} x}$ pour lesquelles le polynôme est égale à 0.

Pour trouver les racines, on calcule le discriminant $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \Delta }$ à l’aide de la formule suivante :

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} \Delta ={\color{DarkOrange} b}^{2}-4{\color{DarkOrange} ac}}$

On analyse alors le signe $\dpi{100} {\color{DarkOrange} \Delta }$ obtenu.

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \Delta }$ < 0 $\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} \rightarrow }$ il n’existe aucune racine : le polynôme n’est JAMAIS égal à 0 ;

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \Delta }$ > 0 $\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} \rightarrow }$ il existe 2 racines $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{1}}=\frac{-{\color{DarkOrange} b}-\sqrt{\Delta }}{2{\color{DarkOrange} a} }$ et $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{2}}=\frac{-{\color{DarkOrange} b}+\sqrt{\Delta }}{2{\color{DarkOrange} a} }$ ;

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \Delta }$ = 0 $\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} \rightarrow }$ il existe 1 racine double $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{1}=x_{2}}=\alpha =\frac{-{\color{DarkOrange} b}}{2{\color{DarkOrange} a}}$ .

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