Polynômes du Second Degré

PARTIE 2 :

III. Déterminer le signe du polynôme et tracer sa représentation graphique

La courbe représentant un polynôme de degré 2 a toujours une forme de parabole tournée vers le haut ou vers le bas selon le signe de a.

Exemples :

a positif = courbe vers le haut

a négatif = courbe vers le bas

Afin de tracer une représentation rapide d’un polynôme, il faut réaliser 3 étapes :

Trouver les endroits où la courbe croise l’axe des abscisses
Faire le tableau de signe de la fonction étudiée
Trouver le sommet de la courbe

1. Trouver les endroits où la courbe croise l'axe des abscisses

La courbe croise l’axe des abscisses au niveau des racines du polynôme, il suffit donc d’appliquer la méthode du discriminant vue dans la partie II pour retrouver $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{1}}$ et $\dpi{100} {\color{DarkBlue} x_{2}}$ .

2. Faire le tableau de signe de la fonction étudiée

Pour déterminer le signe du polynôme en fonction de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} x}$ , on utilise l’astuce suivante :

Un polynôme est toujours du signe de a SAUF entre les racines.

Le tableau de signe d’un polynôme de degré 2 se présente donc sous la forme suivante :

Dans cet exemple, $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} f(x)}$ est donc positif sur $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} ]-\infty ;x_{1}]\cup [x_{2};+\infty [}$ et négatif sur $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} [x_{1};x_{2}]}$ .

Remarque: si le polynôme n’a pas de racine ( $\dpi{100} \Delta <0$ ), ou s’il n’a qu’une seule racine ( $\dpi{100} \Delta =0$ ), alors il est toujours du signe de a.

3. Trouver le sommet de la courbe

Le sommet est toujours au point d’abscisse $\dpi{100} x=\alpha =\frac{{\color{DarkOrange} -b}}{2{\color{DarkOrange} a}}$ et d’ordonnée $\dpi{100} f(x)=\beta =f(\alpha )$ .

Remarque: La forme canonique permet de trouver immédiatement le sommet de la courbe puisqu’elle indique directement les valeurs de $\dpi{100} \alpha$ et de $\dpi{100} \beta$ .