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Les Fonctions Trigonométriques
PARTIE 1 :
I. Définitions
Sens direct et sens indirect
On appele « sens direct » le sens inverse des aiguilles d’une montre.
On appele « sens indirect » le sens des aiguilles d’une montre.
Les Radians
Les radians (rad) sont une unité d’angle. On les utilise donc comme on le fait avec les degrés (°).
La différence avec les degrés : un tour complet fait 2
rad au lieu de 360°
Pour passer un angle de degrés à rad on peut donc faire le produit en croix suivant :
Exemples :
Voici quelques conversions des angles les plus courants :
90° = = rad
180° = rad
360°= 2 rad
Remarque : Attention lorsque vous utilisez votre calculatrice pour des exercices avec des angles : vérifiez toujours si elle est réglée en radians ou en degrés !
Coordonnées d'un angle avec des vecteurs
On peut donner les coordonnées d’un angle grâce à des vecteurs. Pour celà, on donne simplement le nom de deux vecteurs qui bordent l’angle entre parenthèses, séparés l’un de l’autre pas une virgule.
Exemples :
On peut ici nommer ces angles comme celà :
Remarque : Attention l’angle étudié est celui formé lorsque le point de départ des deux vecteurs se touche !
Remarque 2 : Un angle peut être positif ou négatif !
Il est positif si on tourne dans le sens direct, et il est négatif si on tourne dans le sens indirect.
Coordonnées d'un repère avec des vecteurs
Pour nommer un repère avec des vecteurs, on commence par nommer le point où les deux vecteurs directeurs se croisent (c’est ce que l’on appele « l’origine du repère »). On donne ensuite le vecteur directeur de l’axe des abscisses suivit du vecteur directeur des ordonnées.
Exemples :
On peut ici nommer ces repères comme celà :
a)
b)
c)
d)
II. Le Cercle Trigonométrique
Qu'est-ce que c'est ?
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon égal à 1 centré sur l’origine d’un repère (0,OI,OJ).
Comment placer un point M sur le cercle trigonométrique ?
Chaque point placé sur ce cercle forme un angle avec l’axe (abscisse).
L’abscisse de ce point est alors égale au cosinus de l’angle,
et l’ordonnée du point est égale au sinus de l’angle.
On peut vous poser deux types de questions dans ce chapitre :
– Soit on vous donne un point M (ou n’importe quel autre nom, mais ici on va prendre M comme exemple) déjà placé sur le cercle trigonométrique, et on vous demande de retrouver ses coordonnées. (Voir exemple A ci-dessous)
– Soit on vous donne un angle et on vous demande de placer le point M sur le cercle trigonométrique. (Voir exemple B ci-dessous)
Exemples :
A. En utilisant le cercle trigonométrique ci-dessous, retrouvez les coordonnées du point M.
Pour répondre à ce genre d’exercice :
1) On cherche la valeur de l’angle (l’angle entre le vecteur OM et l’axe des abscisses OI).
2) On calcule les coordonnées du point M en prenant le cosinus et le sinus de l’angle
Ici on a donc :
1)
2)
donc
Conclusion : M a pour coordonnées (0,5 ; 0,87).
Exemples :
B. Placez le point M sur le cercle trigonométrique sachant que l’angle fait rad.
Pour répondre à ce genre d’exercice, il existe 2 méthodes : En calculant les coordonnées, ou graphiquementen utilisant un compas.
Méthode 1 : calcul des coordonnées :
1) On calcule COS et on place le résultat sur l’axe des abscisses.
2) On calcule SIN et on place le résultat sur l’axe des ordonnées.
3) On place le point M.
Ici on a donc :
1) (cet angle fait parti de ceux à connnaître par coeur. La liste des angles remarquables à connaître est donnée plus loin dans ce cours. Si on étudie un angle qui ne fait pas parti des angles remarquables, on peut calculer une approximation à la calculatrice).
2)
Conclusion : On peut donc placer le point M de coordonnées .
Méthode 2 : utilisation d’un compas :
1) On place les angles pi/3, pi/4 et pi/6.
2) On part de 0 radians puis on avance sur le cercle jusqu’à arriver au point qui nous interesse.
1. comment placer les angles pi/3, pi/4 et pi/6 avec un compas?
a) pi/4 :
b) pi/3 :
c) pi/6 :
2. Comment placer mon angle 3pi/4 ?
Pour celà:
a) on place la pointe du compas sur 0 radians (au niveau du point I), et on place la partie crayon sur pi/4 (puisqu’ici on cherche à faire 3 x pi/4).
b) en gardant cet écart, on place maintenant la pointe sur pi/4 et on trace un nouveau point sur le cercle : on vient de placer 2pi/4 !
c) on se place sur ce nouveau point et on en trace un troisième : on vient de placer 3pi/4 !
exemple 2 : Comment placer un angle -2pi/6 ?
Pour celà :
a) on place la pointe du compas sur 0 radians (au niveau du point I), et on place la partie crayon sur pi/6 (puisqu’ici on cherche à faire -2 x pi/6).
b) en gardant cet écart, on place cette fois un point vers le bas (on tourne dans l’autre sens, puisqu’ici on cherche à placer -2pi/6 et non +2pi/6 !!), on crée ainsi -pi/6 !
c) on se place sur ce nouveau point et on recommence la même étape : on vient de placer -2pi/6 !
En gros lorsqu’on cherche un angle positif, on tourne dans le sens direct, et lorsqu’on cherche à placer un angle négatif, on fait les mêmes étapes, mais en tournant dans le sens indirect !
Remarque : Attention aux vecteurs qui forment l’angle ! Normalement, on doit avoir (le vecteur qui représente l’axe des abscisses) en premier, mais parfois ce n’est pas le cas ! C’est un piège classique !
Dans ce cas il faut bien se rappeler que :
ex: si , alors l’angle !
Donc si vous avez un angle donné avec les vecteurs dans le « mauvais sens », pensez bien à changer le signe du résultat pour signifier que l’on tourne dans l’autre sens !
Remarque 2 : Un autre piège classique : On peut indiquer l’angle par rapport à (le vecteur directeur de l’axe des ordonnées) à la place de (axe des abscisses).
Dans ce cas, il faut bien se rappeler que :
(car il y a un angle de entre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées)
ex : si ,
alors
(on met au même dénominateur pour pouvoir additionner les deux fractions).
Donc si vous avez un angle donné par rapport à au lieu de , pensez bien à ajouter pi/2 au résultat !
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