La géométrie

PARTIE 1 :

I. Equation cartésienne d'une droite

L’une des façons les plus courantes de définir une droite est de donner son équation cartésienne.

L’équation cartésienne d’une droite est toujours de la forme :

$\LARGE {\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} a}x+{\color{DarkOrange} b}y+{\color{DarkOrange} c}=0}$

Remarque : On peut aussi parfois trouver cette équation sous la forme:

$\LARGE {\color{DarkBlue} y={\color{DarkOrange} m}x+{\color{DarkGreen} p}}$

avec ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} m}=(-\frac{a}{b})}$ et ${\color{DarkBlue} {\color{DarkGreen} p}=(-\frac{c}{b})}$

Trouver un vecteur directeur

On dit qu’un vecteur est un « vecteur directeur » d’une droite lorsque celui-ci possède la même direction que la droite.

Il existe une infinité de vecteurs directeurs possibles pour chaque droite. Tous les vecteurs directeurs d’une droite ayant une équation du type ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} a}x+{\color{DarkGreen} b}y+c=0}$ sont toujours de la forme ${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} -b}\times k;{\color{DarkOrange} a}\times k)}$ , avec $k\: \epsilon \: \mathbb{R}$

Remarque : Le plus simple lorsqu’on cherche un vecteur directeur d’une droite est de choisir ${\color{DarkBlue} k=1}$ , on obtient alors directement un vecteur directeur du type : ${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} -b};{\color{DarkOrange} a})}$

Exemple : On cherche un vecteur directeur de la droite (D) d’équation : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 7}x+{\color{DarkGreen} 2}y-5=0}$

L’un des vecteur directeurs de la droite (D) est donc: ${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} -2};{\color{DarkOrange} 7})}$

Trouver un vecteur normal

Un vecteur est un « vecteur normal » à une droite si il fait un angle de 90° avec la droite.

Il existe une infinité de vecteurs directeurs possibles pour chaque droite. Tous les vecteurs normaux d’une droite ayant une équation du type ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} a}x+{\color{DarkGreen} b}y+c=0}$ sont toujours de la forme ${\color{DarkBlue} \vec{v}({\color{DarkOrange} a}\times k;{\color{DarkGreen} b}\times k)}$ , avec $k\: \epsilon \: \mathbb{R}$

Remarque : Le plus simple lorsqu’on cherche un vecteur normal d’une droite est de choisir ${\color{DarkBlue} k=1}$ , on obtient alors directement un vecteur normal du type : ${\color{DarkBlue} \vec{v}({\color{DarkOrange} a};{\color{DarkGreen} b})}$

Exemple : On cherche un vecteur directeur de la droite (D) d’équation : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 7}x+{\color{DarkGreen} 2}y-5=0}$

L’un des vecteur directeurs de la droite (D) est donc: ${\color{DarkBlue} \vec{v}({\color{DarkOrange} 7};{\color{DarkGreen} 2})}$

Trouver l'équation d'une droite à partir d'un vecteur directeur et d'un point

On peut vous demander de trouver un vecteur directeur à partir de l’équation cartésienne d’une droite, mais on peut également faire l’exercice dans l’autre sens! On peut vous demander de chercher l’équation d’une droite à partir de l’un de ses vecteurs directeur et d’un point appartenant à la droite.

Pour résoudre ce genre d’exercice, il faut suivre la méthode ci-dessous :

1) Calculer les coefficients a et b grâce à un vecteur directeur ou un vecteur normal de la droite ;

2) Calculer la constante restante grâce aux coordonnées d’un point par lequel passe la droite.

Exemple :

On cherche l’équation d’une droite (Q) ayant pour vecteur directeur ${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} 3};{\color{DarkOrange} 4})}$ et passant par le point ${\color{Red} A(2;3)}$ .

1. On cherche les coefficients a et b grâce au vecteur directeur :

L’équation d’une droite est toujours de la forme : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} a}x+{\color{DarkGreen} b}y+c=0}$

Or, comme ${\color{DarkBlue} \vec{u}}$ est un vecteur directeur, on sait que ${\color{DarkBlue} \vec{u}}$ a des coordonnées de la forme :

${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} -b}\times k;{\color{DarkOrange} a}\times k)}$ avec $k\: \epsilon \: \mathbb{R}$

On a donc : ${\color{DarkBlue}{\color{DarkGreen} -b}\times k={\color{DarkGreen} 3}}$ et ${\color{DarkBlue}{\color{DarkOrange} a}\times k={\color{DarkOrange} 4}}$ ;

c’est à dire : ${\color{DarkGreen} b=\frac{-3}{k}}$ et ${\color{DarkOrange} a = \frac{4}{k}}$

L’équation de la droite (Q) est donc de la forme : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} \frac{4}{k}}x+{\color{DarkGreen} \frac{-3}{k}}y+c=0}$ .

En multipliant toute l’équation par k, on obtient alors une équation de la forme : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 4}x+{\color{DarkGreen} (-3)}y+ck=0}$ .

2. On cherche la constante « ck » grâce aux coordonnées du point A :

De plus, on veut que la droite (Q) passe par A, il faut donc que : $({\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 4}\times{\color{Red} x_{A}})+({\color{DarkGreen} -3}\times {\color{Red} y_{A}})+ck=0}$

C’est à dire que : $({\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 4}\times{\color{Red} 2})+({\color{DarkGreen} -3}\times {\color{Red} 3})+ck=0}$

Donc que : ${\color{DarkBlue} 8-9+ck=0 \Leftrightarrow ck=9-8=1}$

L’équation de la droite (Q) est donc de la forme : ${\color{DarkBlue} {\color{DarkOrange} 4}x-{\color{DarkGreen} 3}y+1=0}$

Remarque : On peut simplifier cette méthode en prenant k=1 dès le début de l’exercice. On part alors du principe que notre vecteur directeur est de la forme : ${\color{DarkBlue} \vec{u}({\color{DarkGreen} -b};{\color{DarkOrange} a})}$ . Les étapes de l’exercice restent les mêmes mais les calculs sont légerement plus simples car les k n’apparaissent plus.

Remarque n°2 : On peut également faire le même exercice en prenant un vecteur normal au lieu du vecteur directeur. La méthode reste exactement la même.

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