Les vecteurs

PARTIE 1 :

I. Qu'est qu'un vecteur ?

Un vecteur représente généralement un déplacement, c’est pourquoi on le représente par une flèche. En effet, un vecteur permet d’indiquer la direction et le sens d’un déplacement (selon vers où pointe la flèche) et la distance parcourue (selon la longueur de la flèche).

Dans les calculs, on peut trouver les vecteurs écrits sous 2 formes:
– soit du type : $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}}$ ( si on représente un vecteur qui permet d’aller d’un point A à un point B par exemple ).
– soit du type $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{u}}$ ( si on choisit de donner directement un nom au vecteur ).

II. Placer un point dans un repère $\dpi{100} \huge {\color{DarkBlue} (o,\vec{i},\vec{j})}$

Dans ce chapitre, nous allons souvent devoir placer des points dans un repère nommé $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (o,\vec{i},\vec{j})}$ . Ce repère est constitué de 2 axes (qui ne sont pas forcement parallèles) avec pour référence I = 1 sur l’axe des abscisses et J = 1 sur l’axe des ordonnées.

On appelle ${\color{Orange} \overrightarrow{i}}$ le vecteur allant de 0 à I,

et ${\color{Orange} \overrightarrow{j}}$ le vecteur allant de 0 à J.

Exemple :

On peut donner des points à placer sur ce repère sous la forme $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} A(x,y)}$ ,

A étant le nom du point, et (x,y) étant ses coordonnées.

Exemple :

$\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} A(2;3)}$

Le premier nombre (coordonnée x) représente le nombre de fois où on se déplace de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{i}}$ sur l’axe des abscisses, et le second nombre (coordonnée y) représente le nombre de fois où on se déplace de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{j}}$ sur l’axe des ordonnées.

Exemple :

Remarque : On peut aussi présenter le point sous la forme : ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}}$

C’est exactement la même chose que d’écrire $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} A(2;3)}$ .

Attention : Lorsque l’on trace des pointillés pour placer un point ou un vecteur, il faut TOUJOURS que ces segments en pointillés soient parallèles aux axes du repère ! (ils ne sont donc pas forcément horizontaux ou verticaux).

III. Trouver les coordonnées d'un vecteur

Par le calcul

Les coordonnées d’un vecteur sont toujours égales aux coordonnées de son point d’arrivé moins celles de son point de départ.

Exemple :

$\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}\: (x_{b}-x_{a}\: ;\: y_{b}-y_{a})}$

Ici ce vecteur part du point A (c’est sont point de départ), et va jusqu’au point B (c’est son point d’arrivé). Dans ses coordonnées on fait donc à chaque fois : coordonnée b – coordonnée a

Graphiquement

Pour trouver graphiquement les coordonnées d’un vecteur, on part de son point de départ, et on compte le nombre de fois où on se décale de ${\color{Orange} \overrightarrow{i}}$ sur l’axe des abscisses, puis le nombre de fois où on se décale de ${\color{Orange} \overrightarrow{j}}$ sur l’axe des ordonnées, afin d’arriver à la pointe de sa flèche.

Exemple :

Ici pour aller de A jusqu’à B, on se décalle 3 fois de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{i}}$ , et -1 fois de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{j}}$ (on se décale 1 fois, mais dans le sens inverse de celui du vecteur $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \vec{j}}$ ), les coordonnées du vecteur ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}}$ sont donc : ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB} (3;-1)}$ .

IV. Addition et multiplication de vecteurs

Multiplication d'un vecteur par un réel

Lorsqu’on multiplie un vecteur par un réel, il faut multiplier chaque coordonnée du vecteur par ce réel. On obtient ainsi un nouveau vecteur.

Exemple : ${\color{Orange} \overrightarrow{AB}(1;2)}$ et ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AE} = }\; {\color{Blue} 3}\times {\color{Orange} \overrightarrow{AB}}$ (pour trouver ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AE}}$ on doit donc multiplier par 3 le vecteur ${\color{Orange} \overrightarrow{AB}}$ ).

On a donc : ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AE}}\, (\: {\color{Blue} 3}\times {\color{Orange}x_{\overrightarrow{AB}}}\; ;\;{\color{Blue} 3}\times {\color{Orange}y_{\overrightarrow{AB}}}\;) = {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AE}}\: (\: {\color{Blue} 3}\times {\color{Orange}1}\; ;\;{\color{Blue} 3}\times {\color{Orange}2}\;)$ .

C’est à dire : ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AE}\: (3;6)}$

Graphiquement, on peut représenter ce problème comme ça :

Exemple n°2 :

Si $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AF}=2,5\overrightarrow{{\color{DarkOrange} AB}}}$

Alors $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AF}(x_{\overrightarrow{{\color{DarkOrange} AB}}}\times 2,5;y_{\overrightarrow{{\color{DarkOrange} AB}}}\times 2,5)=\overrightarrow{AF}({\color{DarkOrange} 1}\times 2,5; {\color{DarkOrange} 2}\times 2,5)}$

Donc $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AF}(2,5;5})$

Addition de vecteurs

Lorsqu’on addition des vecteurs, il faut additionner chaque coordonnée de ces vecteurs.

Exemple : On donne $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}(3;1)}$ , $\dpi{100} \large {\color{Magenta} \overrightarrow{CD}(2;4)}$ et $\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{EF}=\: \; }{\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}}+{\color{Magenta} \overrightarrow{CD}}$

On a donc : $\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{EF}}\; ({\color{DarkBlue} x_{\overrightarrow{AB}}}+{\color{Magenta} x_{\overrightarrow{CD}}}\: ;\: {\color{DarkBlue} y_{\overrightarrow{AB}}}+{\color{Magenta} y_{\overrightarrow{CD}}})={\color{Orange} \overrightarrow{EF}}\;({\color{DarkBlue} 3}+{\color{Magenta} 2}\: ; \: {\color{DarkBlue} 1}+{\color{Magenta} 4})$

C’est à dire : $\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{EF}\: (5\: ;\, 5)}$

Graphiquement, on peut également résoudre ce problème comme celà (c’est à dire en mettant bout-à-bout les vecteurs ${\color{DarkBlue} \overrightarrow{AB}}$ et ${\color{Magenta} \overrightarrow{CD}}$ ) :

Exemple n°2 :

On donne cette fois $\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{GH}=\: \; }{\color{DarkBlue} 3\overrightarrow{AB}}+{\color{Magenta} 5\overrightarrow{CD}}$

On a donc : $\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{GH}}\; ({\color{DarkBlue} 3\, x_{\overrightarrow{AB}}}\, +\, {\color{Magenta} 5\, x_{\overrightarrow{CD}}}\; ;\; {\color{DarkBlue} 3\, y_{\overrightarrow{AB}}}\, +\, {\color{Magenta} 5\, y_{\overrightarrow{CD}}})$

$= {\color{Orange} \overrightarrow{GH}}\;({\color{DarkBlue} 3\times 3}\, +\, {\color{Magenta} 5\times 2}\; ; \; {\color{DarkBlue} 3\times 1}\, +\, {\color{Magenta} 5\times 4})$

$\dpi{100} \large {\color{Orange} \overrightarrow{GH}\: (19\: ;\, 23)}$

Découvre vite la suite de ce cours

Abonne-toi à coursvincent.com et déverouille des tonnes de contenu