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Les suites

PARTIE 1 :

I. Définitions

Une suite $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (U_n)}$ est une fonction qui associe à tout entier naturel $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ un nombre réel noté $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} u_n}$ .

Exemple : La suite $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (U_n)}$ est définie par $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} n}=2{\color{DarkOrange} n}+1}$ pour $\dpi{100} {\color{DarkBlue} n \epsilon \mathbb{N}}$ . On a donc :

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} n={\color{DarkOrange} 0 }}$ alors $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n=U_{\color{DarkOrange} 0}=(2 \textup{x}{\color{DarkOrange} 0})+1= 1}$ ;
Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} n={\color{DarkOrange} 1 }}$ alors $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_1=3}$

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} n={\color{DarkOrange} 2 }}$ alors $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} U_2=5}$

Si $\dpi{100} {\color{DarkBlue} n={\color{DarkOrange} 3}}$ alors $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_3=7}$

etc.

Les entiers $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ sont appelés les rangs, ou les indices.

Les réels $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n}$ sont appelés les termes.

Exemple :

Ici le terme $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_5}$ est le terme de rang 5 de la suite.

Remarque : ne pas confondre $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n}$ et $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (U_n)}$ ! Lorsqu’on écrit $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (U_n)}$ , on parle de la fonction alors que lorsqu’on écrit $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n}$ sans parenthèses, on parle d’un seul de ses termes (le terme de rang $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ ), comme lorsqu’on écrit $\dpi{100} {\color{DarkBlue}U_2}$ ou $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_5}$ .

II. Comment donner une suite?

Il existe 2 façons de définir une suite afin de calculer ses différents termes :

1. La formule explicite

On dit qu’une suite est donnée sous sa forme explicite lorsqu’elle est définie par une fonction de $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ , $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ étant le rang du terme recherché.

$\dpi{100} \LARGE {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} n} =f({\color{DarkOrange} n})}$

Exemple : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n =5n + 3}$

Remarque : La formule explicite permet de calculer directement n’importe quel terme de la suite, il suffit de remplacer $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ par le rang souhaité dans la formule.

Exemples :

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 1}=5\times {\color{DarkOrange} 1} + 3= 8}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue}U_{\color{DarkOrange} 3}=5\times {\color{DarkOrange} 3} + 3= 18}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 54}=5\times {\color{DarkOrange} 54} + 3= 273}$

2. La formule par récurrence

On dit qu’une suite est donnée par récurrence si elle est définie par son premier terme $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_0}$ et par une fonction de $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n}$ permettant de calculer un terme à partir du terme précédent.

$\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \left\{\begin{matrix}U_0 & \\ U_{n+1}=g(u_n) & \end{matrix}\right.}$

Exemple : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} \left\{\begin{matrix}U_0=5 & \\ U_{n+1}=2U_{n} & \end{matrix}\right.}$

Remarque : Pour calculer un terme d’une suite donnée par récurrence, il faut d’abord calculer tous les termes un par un et dans l’ordre jusqu’au terme souhaité.

Exemple : Si on cherche $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_4}$ , on doit donc d’abord calculer $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_0}$ , puis $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_1}$ , puis $\dpi{100} {\color{DarkBlue}U_2}$ , puis $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_3}$ , et enfin $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_4}$ .

$\dpi{100} {\color{DarkBlue}U_0={\color{DarkOrange} 5}}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 1}=2\times {\color{DarkOrange} U_0}=2\times{\color{DarkOrange} 5}={\color{DarkOrange} 10}}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 2}=2\times {\color{DarkOrange} U_1}=2\times{\color{DarkOrange} 10}={\color{DarkOrange} 20}}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 3}=2\times {\color{DarkOrange} U_2}=2\times{\color{DarkOrange} 20}={\color{DarkOrange} 40}}$

$\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_{\color{DarkOrange} 4}=2\times {\color{DarkOrange} U_3}=2\times{\color{DarkOrange} 40}={\color{DarkOrange} 80}}$

III. Représentation graphique

On peut représenter une suite sous la forme d’un graphique. Pour cela, on commence par dresser un tableau de valeurs contenant les rangs et leurs termes associés.

Exemple : Prenons la suite donnée par la formule explicite : $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n=3n^2+5}$ . On obtient le tableau de valeur suivant :

Chaque colonne correspond alors aux coordonnées d’un point que l’on peut placer sur un graphique.

IV. Sens de variation d'une suite

Lorsque l’on souhaite analyser le sens de variation d’une suite, on effectue toujours le calcul ${\color{DarkBlue} U_{n+1}-U_{n}}$ . En comparant ensuite le résultat obtenu par rapport à 0, on peut déduire le sens de variation de la suite (voir tableau ci-dessous).

V. Limite d'une suite

On dit qu’une suite est convergente lorsque ses termes se rapprochent, de plus en plus, d’un nombre $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} \l}$ (qu’on appelle la limite).

Exemple : La suite $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} (U_n)}$ définie par $\dpi{100} {\color{DarkBlue} U_n=\frac{1}{2n}+3}$ est convergente car ses termes convergent vers 3 (plus $\dpi{100} \large {\color{DarkBlue} n}$ devient grand, plus la suite se rapproche de la valeur 3).

La limite de la suite est donc 3.

Remarque : Toutes les suites qui ne sont pas convergentes sont dites divergentes.

Exemple :

Ces suites ne convergent pas vers une limite, elles sont donc divergentes.

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Cours écrit partie 1